2017届高三数学一轮总复* 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 10.5 古典概型开卷速查

发布于:2021-12-07 04:56:29

开卷速查(六十五) 古典概型

A 级 基础巩固练

1.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为

()

1

1

A.3

B.4

C.16

D.112

解析:复数(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,则 n2-m2=0? m=n,而投掷两颗骰子得

61 到点数相同的情况只有 6 种,所以所求概率为6×6=6。

答案:C

2.[2016·贵阳模拟]将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于 3 的概率是

()

2

5

A.3

B.6

29

3

C.36

D.4

解析:抛掷骰子两次,有 36 种等可能的结果,如表:

123456

1√√√√

2√√√√√

3√√√√√√

4√√√√√√

5

√√√√√

6

√√√√

所求概率 P=3306=56。

答案:B

3.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 θ >90°的概率是( )

A.152

B.172

C.13

D.12

解析:∵(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,∴m>n。

基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),

(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个)。∴P=3165=152,故选 A。

答案:A

4.一个袋中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球,如果从中任取两个球,那么恰

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好取到两个同色球的概率是( )

1

3

A.5

B.10

2

1

C.5

D.2

解析:从袋中任取两个球,其一切可能结果有

(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 1,红 1),(黑 1,红 2),(黑 2,黑 3),(黑 2,红 1),(黑 2,

红 2),(黑 3,红 1),(黑 3,红 2),(红 1,红 2)共 10 个,同色球为(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),

(黑 2,黑 3),(红 1,红 2)共 4 个结果,∴P=25。

答案:C

5.[2016·宿州模拟]一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将

这一颗骰子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( )

1 A.12

1 B.18

1 C.36

7 D.108

解析:基本事件总数为 6×6×6,事件“三次点数依次构成等差数列”包含的基本事件有

(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),

(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共 18 个,所求事件

的概率 P=6×168×6=112。

答案:A

6.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y=23mx3-nx+1 在[1,+∞)上

为增函数的概率是( )

A.12

B.56

C.34

D.23

解析:由题可知,函数 y=23mx3-nx+1 在[1,+∞)上单调递增,所以 y′=2mx2-n≥0 在[1,

+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)

共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y=23mx3-nx+1 在[1,+∞)上单调递增的概

率为3360=56。

答案:B

7.[2014·课标Ⅰ]将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相

邻的概率为__________。

解析:设 2 本数学书分别为 A、B,语文书为 C,则所有的排放顺序有 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、

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CBA,共 6 种情况,其中数学书相邻的有 ABC、BAC、CAB、CBA,共 4 种情况,故 2 本数学书相邻的 概率 P=46=23。
2 答案:3 8.[2014·课标Ⅱ]甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种, 则他们选择相同颜色运动服的概率为__________。 解析:甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能 情况为(红,白),(白,红),(红,蓝),(蓝,红),(白,蓝),(蓝,白),(红,红),(白,白),(蓝, 蓝),共 9 种,他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共 3 种。 故所求概率为 P=39=13。 答案:13 9.[2015·潍坊一模]如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分,其中一个 数字被污损,则甲的*均得分不超过乙的*均得分的概率为__________。
解析:由茎叶图知甲在五场比赛中的得分总和为 18+19+20+21+22=100;乙运动员在已知 成绩的四场比赛中得分总和为 15+16+18+28=77,乙的另一场得分是 20 到 29 十个数字中的任何 一个的可能性是相等的,共有 10 个基本事件,而事件“甲的*均得分不超过乙的*均得分”就包含 了其中的 23,24,25,26,27,28,29 共 7 个基本事件,所以甲的*均得分不超过乙的*均得分的概率为 170。
7 答案:10 10.[2014·四川]一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数 字外完全相同。随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c。 (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率。 解析:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2), (1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1), (3,3,2),(3,3,3),共 27 种。 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种。 所以 P(A)=237=19。
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因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为19。

(2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同” 为事件 B,则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),

(3,3,3),共 3 种。

所以 P(B)=1-P( B )=1-237=89。

因此,“抽取的卡片上的数字

a,b,c

8 不完全相同”的概率为9。

B 级 能力提升练

11.[2014·山东]海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地

区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示。工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6

件样品进行检测。

地区 A B

C

数量 50 150 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量;

(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的

概率。

6

1

解析:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是50+150+100=50,所以样本中包含三个地区

的个体数量分别是:

50×510=1,150×510=3,100×510=2。

所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2。

(2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2。 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:

{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2, B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个。
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能。

记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,

则事件 D 包含的基本事件有

{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个。 所以 P(D)=145,即这 2 件商品来自相同地区的概率为145。

12.[2014·重庆]20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:

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(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率。 解析:(1)据直方图知组距为 10, 由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得 a=2100=0.005。 (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2。成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3。 (3)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A1,A2,成绩落在[60,70)中的 3 人为 B1,B2,B3,则从成绩 在[50,70)的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3), (B2,B3), 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 3 个: (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 故所求概率为 P=130。
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